2012

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corrigé epreuve 2010 : probléme

Terminale S1 et S3

2012

Détails: Catégorie : géométrie plane

Dans le plan affine euclidien on donne une droite $(D)$ et deux points distincts $F$ et $A$ , symétriques par rapport à $(D)$ .

On désigne par $(\mathcal{H})$ l'hyperbole d'excentricité $2$ qui admet $F$ pour foyer et $(D)$ pour directrice associée à $F$ .

1. Montrer que $A$ est un sommet de $(\mathcal{H})$ . Déterminer l'autre sommet $A '$ en exprimant $\overrightarrow{ AA'}$ en fonction de $\overrightarrow{ AF}.$ % puis le centre $\Omega$ .

Construire géométriquement les directrices de $(\mathcal{H})$ , ses foyers, ses sommets et son centre et donner l'allure de $(\mathcal{H})$ .

2. Soit $(\mathcal{C})$ un cercle passant par $F$ et centré en un point $O$ de $(D)$ non situé sur l'axe focal. Construire $(\mathcal{C})$ sur la figure.

On se propose de montrer que $(\mathcal{H})\cap (\mathcal{C}) = \set{A, M_1, M_2,M_3}$ où $M_1, M_2$ et $M_3$ sont les sommets d'un triangle équilatéral.

On rapporte le plan à un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$ choisi de façon que $(O, \overrightarrow{i} )$ soit un repère de $(D).$

A chaque point $M$ du plan correspond ainsi son affixe $z = x+iy$ ; on désigne par $a$ l'affixe de $F$ .

Montrer que $M(z)$ appartient à $(\mathcal{C})$ si et seulement si : $z\overline{z} - a\overline{a} = 0$ (On pourra interpréter géométriquement $z\overline{z} - a\overline{a}$ ).

a. Montrer de même que $M(z)$ appartient à $(\mathcal{H})$ si et seulement si : $(z-a) (\overline{z}-\overline{a})+(z-\overline{z})^2 =0.$

b. En déduire que $CH$ est l'ensemble des points du plan dont les affixes $z$ vérifient une équation de la forme : $z^3 -k=0$ où $k$ est un nombre complexe qu'on exprimera en fonction de $a$ .