Dans le plan affine euclidien on donne une droite et deux points distincts et , symétriques par rapport à .
On désigne par l'hyperbole d'excentricité qui admet pour foyer et pour directrice associée à .
1. Montrer que est un sommet de . Déterminer l'autre sommet en exprimant en fonction de % puis le centre .
Construire géométriquement les directrices de , ses foyers, ses sommets et son centre et donner l'allure de .
2. Soit un cercle passant par et centré en un point de non situé sur l'axe focal. Construire sur la figure.
On se propose de montrer que où et sont les sommets d'un triangle équilatéral.
On rapporte le plan à un repère orthonormé choisi de façon que soit un repère de
A chaque point du plan correspond ainsi son affixe ; on désigne par l'affixe de .
Montrer que appartient à si et seulement si : (On pourra interpréter géométriquement ).
a. Montrer de même que appartient à si et seulement si :
b. En déduire que est l'ensemble des points du plan dont les affixes vérifient une équation de la forme : où est un nombre complexe qu'on exprimera en fonction de .
c. Montrer que est le module de et un argument de .
Résoudre alors l'équation et conclure par rapport au problème posé.
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