Partie A
1. a. notons l'application de dans définie analytiquement par:
et l'application de dans définie analytiquement par:
est la symétrie orthogonale d'axe la deuxième bissectrice,
la translation de vecteur et
(Attention!! n'est pas égal à .)
b. Soit un point de (c'est à dire tel que et ) et son image par Il faut montrer que {.}
appartient à .
En effet est égal à , il ne peut donc être nul puisque .
De plus
2. a. Cherchons un point tel que pour toute valeur du paramètre , appartient à et .
On doit avoir :
Soit
Pour cela, il faut et il suffit que
c'est à dire ou
En résumé :
Les courbes passent toutes par les points et
b. Cherchons un point (dépendant éventuellement de ) fixé par , c'est à dire tel que et .
On doit avoir: c'est à dire . Donc ou puisque est non nul.
Les points fixes de sont et
3. a. est une fraction rationnelle, est l'ensemble des réels qui n'annulent pas son dénominateur:
La fonction est définie et continue dans et
Lorsque tend vers , le dénominateur de tend vers et son numérateur vers le réel non nul .
Pour calculer , il faut connaître le signe de quand tend vers .
Le signe de est celui du trinôme dont les racines sont et Ce trinôme a le signe de à "l'extérieur des racines" et le signe de à "l'intérieur des racines"
Le réel a même signe que le trinôme ; donc il est si appartient à et sinon; ce qui motive la discussion suivante.
Si est alors est et a le signe de (c'est à dire est ) dans et le signe de dans
Par conséquent : et
Si alors est et a le signe de est ) dans et le signe de dans
Par conséquent : et
Si est alors est et a le signe de (c'est à dire est ) dans et le signe de dans
Par conséquent : et .
En résumé :
La fonction est dérivable dans et
La dérivée a donc le signe de . Plus précisément:
Si c'est à dire , alors .
Si c'est à dire , alors .
Voici les tableaux de variation de selon .
Et voici les courbes demandées
4. a. La fonction est strictement monotone par ce que sa dérivée est le réel non nul . Par conséquent, pour tout appartenant à , est compris entre et , réels strictement positifs.
est donc strictement positif dans en particulier est non nul dans .
Ainsi la fonction qu'il faut intégrer est définie et continue dans ; de ce fait l'intégrale est bien définie si est non nul.
est défini par l'énoncé et
b. Le changement de variable donne
Lorsque tend vers , tend vers et tend vers car
.
Lorsque tend vers , tend vers et tend vers car et .
c. Si , alors est inclus dans , intervalle dans lequel la fonction est continue et strictement croissante.
Donc si , alors
Si , alors est inclus dans , intervalle dans lequel la fonction est continue et strictement croissante.
Donc si , alors
d. On a pour tout :
e. Maintenant on peut écrire:
et le théorème des gendarmes donne :
Autrement dit
Par conséquent est continue en .
Partie B
1. a Pour prouver que est un r.o.n, il suffit de vérifier que et .
b. Soit un point de coordonnées dans le repère et de coordonnées dans le repère .
De la relation on tire:
Par conséquent
c. Soit un point de coordonnées dans le repère et de coordonnées dans le repère .
La courbe a donc pour équation dans le repère
(1.3)
d. Puisque le paramètre est différent de , le réel est non nul; nous reconnaissons donc l'équation réduite d'une hyperbole.
Plus précisément :
Si est c'est à dire si , alors
Si est c'est à dire si (et , alors
En résumé en posant :
(1.4)
Si a>1,alors
Les sommets et ont pour coordonnées respectives dans le repère
Si a<1,alors
Les sommets et} ont pour coordonnées respectives et dans le repère
2. Les axes de l'hyperbole sont les axes de coordonnées du repère
Elles ont pour équations respectives dans le repère (axe des ordonnées) et (axe des abscisses).
On obtient à partir des relations ??, en faisant la somme puis la différence:
(1.5)
Donc dans le repère l'axe des ordonnées de a pour équation:
et l'axe des abscisses de a pour équation: .
L'axe des abscisses du repère est donc la droite
Pour que les sommets soient sur la droite il faut et il suffit que cette droite soit
l'axe focal c'est à dire que l'équation réduite de soit de la forme
On en déduit en utilisant que pour que les sommets soient sur il faut et il suffit que soit .
3. Pour calculer plaçons-nous dans le repère .
Dans ce repère, les coordonnées de sont et ceux des sommets et sont les couples et ; donc a pour coordonnées et :
Pour calculer plaçons-nous dans le repère .
Dans ce repère, les coordonnées de sont et ceux de sont le couple ; donc a pour coordonnées et
Les points et étant les centres des hyperboles et sont sur les axes des ces hyperboles en particulier ils sont tous les deux sur l'axe .
Les points et étant respectivement un sommet et le centres de l'hyperbole sont sur l'axe focal de .
Comme les axes de sont perpendiculaires en , le triangle est rectangle en . On en déduit en appliquant le théorème de pythagore que:
Par conséquent et appartiennent au cercle de centre et de rayon
4. a. Déjà fait, voici le tableau de variation de .
D'après le tableau de variation, l'image de l'intervalle est lui-même.
b. Raisonnons par récurrence pour montrer la propriété:
" est défini et appartient à "
Initialisation : " est défini et appartient à " (données de l'énoncé). est donc vrai.
Héritage : Supposons la propriété vérifiée jusqu'à un rang donnée; en particulier que soit vraie, c'est à dire " est défini et appartient à ".
Alors puisque , appartient à . La propriété est vérifiée.
Les points fixes de étant et :
Si , alors pour tout entier ; la suite est constante.
Si , alors pour tout entier ; la suite est constante.
5. a. Si est différent de et , il en est de même de pour tout ; et alors
.
Pour tout entier naturel on a:
est donc strictement négatif parce que et .
La suite est strictement décroissante.
b. La suite étant bornée par et et monotone, converge} vers un réel appartenant à .
A partir de la relation on obtient par passage la limite:
est donc un point fixe de différent de : .
La suite converge vers
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