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Corrigé 2009 : fonction num. vecteur et suites

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

1. a. notons $s$ l'application de $(P)$ dans $(P)$ définie analytiquement par:

$\left\{ \begin{array}{lll} x ' & = & -y \\ y ' & = & -x \end{array} \right.$

et $t$ l'application de $(P)$ dans $(P)$ définie analytiquement par:

$\left\{ \begin{array}{lll} x ' & = & x+1\\ y ' & = & y+1 \end{array} \right.$

$s$ est la symétrie orthogonale d'axe la deuxième bissectrice,
$t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{u}(1, 1)$ et $\varphi = t\circ s$

(Attention!! $\varphi$ n'est pas égal à $s\circ t$ .)

b. Soit $M(x, y)$ un point de $(C_a)$ (c'est à dire tel que $x\in D_{f_a}$ et $y=f_a(x)$ ) et $M'(x',y')$ son image par $\varphi.$ Il faut montrer que { $y'=f_a(x ')$ .}

$x' = -y+1$ appartient à $D_{f_a}$ .

En effet $a(-y+1)-a+1$ est égal à $(a-1)\dfrac{ax-a+1}{ax-a+1}= a-1$ , il ne peut donc être nul puisque $a\neq 1$ .

De plus

$f_a(x')=f_a(-y+1)=\dfrac{-y+1}{a(-y+1)-a+1}=\dfrac{-y+1}{-ay+1}$

$=\dfrac{- \dfrac{x}{ax-a+1}+1}{-a\dfrac{x}{ax-a+1}+1}=\dfrac{(-x+1)(-a+1)}{-a+1}=-x+1=y'$

2. a. Cherchons un point $A(x_0, y_0)$ tel que pour toute valeur du paramètre $a$ , $A$ appartient à $C_a$ $x_0\in D_{f_a}$ et $y_0=f_a(x_0)$ .

On doit avoir :

$\forall a\in\mathbb{R}^*\backslash\{1\}, y_0=\frac{x_0}{ax_0-a+1}$

Soit $\forall a\in\mathbb{R}^*\setminus \set{1},\; (x_0y_0-y_0) a +y_0-x_0=0$

Pour cela, il faut et il suffit que

$\left\{ \begin{array}{lll} y_0-x_0 &=&0\\ x_0 y_0-y_0& =&0\\ \end{array} \right.$ c'est à dire $\left\{\begin{array}{lll}y_0 &=&x_0\\x_0 ^2-x_0& =&0\\\end{array}\right.$ ou $\left\{\begin{array}{lll}y_0 &=&x_0\\x_0 & =&0 \;\mbox{ou}\;1\\\end{array}\right.$

En résumé :

Les courbes $C_a$ passent toutes par les points $O(0, 0)$ et $A_1(1, 1)$

b. Cherchons un point $\ell$ (dépendant éventuellement de $a$ ) fixé par $f_a$ , c'est à dire tel que $\ell \in D_{f_a}$ et $f_a(\ell)=\ell$ .

On doit avoir: $\dfrac{\ell}{a\ell-a+1} =\ell$ c'est à dire $a(\ell^2-\ell)=0$ . Donc $\ell=0$ ou $1$ puisque $a$ est non nul.

Les points fixes de $f_a$ sont $0$ et $1$

3. a. $f_a(x)$ est une fraction rationnelle, $D_{f_a}$ est l'ensemble des réels qui n'annulent pas son dénominateur:

$D_{f_a} = \mathbb{R}\backslash\{\frac{a-1}{a}\}$

La fonction $f_a$ est définie et continue dans $D_{f_a}$ et $\lim_{x\to -\infty}\, f_a(x) = \lim_{x\to+\infty}\, f_a(x) = \dfrac1a$

Lorsque $x$ tend vers $x_0=\dfrac{a-1}{a}$ , le dénominateur de $f_a(x)$ tend vers $0$ et son numérateur vers le réel non nul $x_0$ .

Pour calculer $\lim_{x\to x_0}f_a(x)$ , il faut connaître le signe de $f_a(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$ .

Le signe de $f_a(x)$ est celui du trinôme $T(x) =x(ax-a+1)$ dont les racines sont $0$ et $x_0.$ Ce trinôme a le signe de $a$ à "l'extérieur des racines" et le signe de $- a$ à "l'intérieur des racines"

Le réel $x_0$ a même signe que le trinôme $(a-1)a$ ; donc il est $<0$ si $a$ appartient à $]0, 1[$ et $> 0$ sinon; ce qui motive la discussion suivante.

Si $a$ est $>1,$ alors $x_0$ est $>0$ et $T(x)$ a le signe de $a$ (c'est à dire est $>0$ ) dans $]x_0,+\infty[$ et le signe de $-a$ dans $]0, x_0[$

Par conséquent : $\lim_{x\to x_0^+}\, f_a(x) =+\infty$ et $\lim_{x\to x_0^-}\, f_a(x)=-\infty$

Si $a\in]0, 1[,$ alors $x_0$ est $<0$ et $T(x)$ a le signe de $a$ est $>0$ ) dans $]-\infty, x_0[$ et le signe de $-a$ dans $]x_0, 0[$

Par conséquent : $\lim_{x\to x_0^+}\, f_a(x) =-\infty$ et $\lim_{x\to x_0^-}\, f_a(x)=+\infty$

Si $a$ est $<1,$ alors $x_0$ est $>0$ et $T(x)$ a le signe de $a$ (c'est à dire est $<0$ ) dans $]x_0,+\infty[$ et le signe de $-a$ dans $]0, x_0[$

Par conséquent : $\lim_{x\to x_0^+}\, f_a(x) =-\infty$ et $\lim_{x\to x_0^-}\, f_a(x)=+\infty$ .

En résumé :

$\lim_{x\to x_0^+}\, f_a(x) =$ $\left\{ \begin{array}{lll} +\infty&\mbox{si}\; a > 1\\ -\infty&\mbox{sinon}\; \\ \end{array} \right.$

$\lim_{x\to x_0^-}\, f_a(x) =$ $\left\{ \begin{array}{lll} -\infty&\mbox{si}\; a > 1\\ +\infty&\mbox{sinon}\; \\ \end{array} \right.$

La fonction $f_a$ est dérivable dans $D_{f_a}$ et

$\forall x \in D_{f_a},\; f_a '(x)=\dfrac{-a+1}{(ax-a+1)^2}$

La dérivée a donc le signe de $1-a$ . Plus précisément:

Si $1-a >0$ c'est à dire $a<1$ , alors $\forall x \in D_{f_a},\;f_a'(x) >0$ .

Si $1-a <0$ c'est à dire $a>1$ , alors $\forall x \in D_{f_a},\;f_a'(x) <0$ .

Voici les tableaux de variation de $f_a$ selon $a$ .

Et voici les courbes demandées

4. a. La fonction $\varphi$ est strictement monotone par ce que sa dérivée est le réel non nul $a$ . Par conséquent, pour tout $x$ appartenant à $[0, 1]$ , $\varphi(x)$ est compris entre $\varphi(0)=1-a$ et $\varphi(1)=1$ , réels strictement positifs.
$\varphi$ est donc strictement positif dans $[0, 1]$ en particulier $\varphi$ est non nul dans $[0, 1]$ .

Ainsi la fonction $x\to f_a(x)$ qu'il faut intégrer est définie et continue dans $[0, 1]$ ; de ce fait l'intégrale $F(a)$ est bien définie si $a$ est non nul.

$F(0)$ est défini par l'énoncé et $F(0)=\int_{0}^{1}x\; dx = \dfrac12$

b. Le changement de variable $t=ax+1-a$ donne

$F(a) = \dfrac1{a^2}\int_{1-a}^{1}\Big(1+\dfrac{a-1}{t}\; dt\Big)=\dfrac1{a^2}\Big[t+(a-1)\ln t\Big]_{t=1-a}^{t=1}$

$F(a)=\dfrac1{a}+\dfrac{1-a}{a^2}\ln(1-a)$

Lorsque $a$ tend vers $1^-$ , $h =1-a$ tend vers $0^+$ et $F(a) = \dfrac1a +\dfrac{1}{a^2} h\ln h$ tend vers $1$ car
$\Lim_{h\to 0^+}h\ln h=0$ .
$\lim_{a\to 1^-}F(a)=1$

Lorsque $a$ tend vers $-\infty$ , $h =1-a$ tend vers $+\infty$ et $F(a) = \dfrac1{h+1} + \dfrac{h^2}{(h+1)^2}\dfrac{\ln h}{h}$ tend vers $0$ car $\lim_{h\to +\infty}\dfrac{h^2}{(h+1)^2}=1$ et $\lim_{h\to +\infty}\dfrac{\ln h}{h}=0$ .

$\lim_{a\to -\infty}F(a)=0$

c. Si $a<0$ , alors $[0,1]$ est inclus dans $\Big]-\infty, 1-\dfrac1a\Big[$ , intervalle dans lequel la fonction $f_a$ est continue et strictement croissante.

Donc si $a<0$ , alors $\forall x \in [0, 1],\; f_a(x)\in[f_a(0), f_a(1)]=[0, 1].$

Si $0<a<1$ , alors $[0,1]$ est inclus dans $\Big] 1-\dfrac1a,\,+\infty\Big[$ , intervalle dans lequel la fonction $f_a$ est continue et strictement croissante.

Donc si $0<a<1$ , alors $\forall x \in [0, 1],\; f_a(x)\in [f_a(0), f_a(1)]=[0, 1].$

d. On a pour tout $x \in [0, 1]$ :

$|f_a(x)-x|= \Big|\dfrac{-ax^2+ax}{ax-a+1}\Big| =|a|\dfrac{-x^2+x}{ax-a+1}\leq |a|\dfrac{ x}{ax-a+1}=|a|f_a(x) \leq |a|$

e. Maintenant on peut écrire:
$0\leq |F(a)-F(0)| =\Big|\int_{0}^{1}\Big(f_a(x)-x\Big)\; dx\Big|\leq \int_{0}^{1}\Big|f_a(x)-x\Big|\; dx\leq \int_{0}^{1}|a|\; dx=|a|$

et le théorème des gendarmes donne :

$\lim_{a\to 0}\Big|F(a)-F(0)\Big| = 0$

Autrement dit

$\lim_{a\to 0}F(a)=F(0)= \dfrac12$

Par conséquent $F$ est continue en $0$ .

Partie B

1. a Pour prouver que $\mathcal R_a$ est un r.o.n, il suffit de vérifier que $\|\overrightarrow{e_1}\|^2 = \overrightarrow{e_2}\|^2 = 1$ et $\overrightarrow{e_2}. \overrightarrow{e_2}=0$ .

$\|\overrightarrow{e_1}\|^2=\dfrac12\Big(\overrightarrow{i}- \overrightarrow{j}\Big)^2=\dfrac12\Big(\overrightarrow{i}^2-2\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}^2\Big)=1$

$\|\overrightarrow{e_2}\|^2=\dfrac12\Big(\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}\Big)^2=\dfrac12\Big(\overrightarrow{i}^2+2\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j}^2\Big)=1$

$\overrightarrow{e_1}.\overrightarrow{e_2}=\dfrac12\Big(\overrightarrow{i}- \overrightarrow{j}\Big).\Big(\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}\Big)=\dfrac12\Big(\overrightarrow{i}^2- \overrightarrow{j}^2\Big)=0$

b. Soit $M$ un point de coordonnées $(x,\, y)$ dans le repère $\mathcal R$ et de coordonnées $(X,\,Y)$ dans le repère $\mathcal R_a$ .

De la relation $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O\Omega_a}+\overrightarrow{\Omega_aM}$ on tire:

$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}=\Big(1-\dfrac1a\Big)\overrightarrow{i}+\dfrac1a\overrightarrow{j}+X\overrightarrow{e_1}+Y\overrightarrow{e_2}$

$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}=\Big(1-\dfrac1a\Big)\overrightarrow{i}+\dfrac1a\overrightarrow{j}+\dfrac1{\sqrt 2}X\Big(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\Big)+\dfrac1{\sqrt 2}Y\Big(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\Big)$

$x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}=\Big[1-\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(X+Y)\Big]\overrightarrow{i}+\Big[\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(-X+Y)\Big]\overrightarrow{j}$

Par conséquent

$\left\{ \begin{array}{lll} x & = & 1-\dfrac1a+\dfrac1{\sqrt2}(X+Y) \\ y & = & \dfrac1a+\dfrac1{\sqrt2}(-X+Y) \end{array} \right.$

c. Soit $M$ un point de coordonnées $(x,\, y)$ dans le repère $\mathcal R$ et de coordonnées $(X,\,Y)$ dans le repère $\mathcal R_a$ .

$\begin{array}{lll} M \in C_a & \Leftrightarrow & y=f(x)\\ & \Leftrightarrow &\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(-X+Y)=\dfrac{1-\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(X+Y)}{a \Big(1-\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(X+Y)\Big)+1-a}\\ & \Leftrightarrow &\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(-X+Y)=\dfrac{1-\dfrac1a+ \dfrac 1{\sqrt 2}(X+Y)}{\dfrac a{\sqrt 2}(X+Y)}\\ & \Leftrightarrow &\dfrac a2(Y^2-X^2)=1-\dfrac1a\\ & \Leftrightarrow &Y^2-X^2=\dfrac {2(a-1)}{a^2}\\ \end{array}$

La courbe $C_a$ a donc pour équation dans le repère $\mathcal R_a:$

(1.3) $Y^2-X^2=\frac {2(a-1)}{a^2}$

d. Puisque le paramètre $a$ est différent de $1$ , le réel $a-1$ est non nul; nous reconnaissons donc l'équation réduite d'une hyperbole.

Plus précisément :

Si $a-1$ est $>0$ c'est à dire si $a>1$ , alors

$M\in C_a \Leftrightarrow Y^2-X^2=\Big( \dfrac {\sqrt{2(a-1)}}{|a|}\Big)^2$

Si $a-1$ est $<0$ c'est à dire si $a<1$ (et $a\neq 0)$ , alors

$M\in C_a \Leftrightarrow Y^2-X^2=-\Big( \dfrac {\sqrt{2(1-a)}}{|a|}\Big)^2$

En résumé en posant $\alpha = \dfrac{\sqrt {2 |a-1 |}}{|a|}$ :

(1.4)

Si a>1,alors $M\in C_a \Leftrightarrow \dfrac{Y^2}{\alpha^2}-\dfrac{X^2}{\alpha^2}=1$

Les sommets $S_a$ et $S_a'$ ont pour coordonnées respectives $(0,\,\alpha) et {tex}\alpha)$ dans le repère $\mathcalR_a$

Si a<1,alors $M\in C_a \Leftrightarrow \dfrac{X^2}{\alpha^2}-\dfrac{Y^2}{\alpha^2}=1$

Les sommets $S_a$ et} $S_a'$ ont pour coordonnées respectives $(\alpha,\,0)$ et $(-\alpha,\,0)$ dans le repère $\mathcal R_a$

2. Les axes de l'hyperbole $C_a$ sont les axes de coordonnées du repère $\mathcal R_a.$

Elles ont pour équations respectives dans le repère $\mathcal R_a : X=0$ (axe des ordonnées) et $Y=0$ (axe des abscisses).

On obtient à partir des relations ??, en faisant la somme puis la différence:

$\left\{\begin{array}{lll} \dfrac2{\sqrt 2} Y+1&=& x+y \\ \dfrac2{\sqrt 2} X+1+\dfrac2a&=& x-y \\ \end{array} \right.$

(1.5) $\left\{\begin{array}{lll} Y &=& \sqrt 2 (x+y-1) \\ X &=& \sqrt 2 (x-y -1-\dfrac2a)\\ \end{array} \right.$

Donc dans le repère $\mathcal R$ l'axe des ordonnées de $\mathcal R_a$ a pour équation: $x-y -1-\dfrac2a=0$

et l'axe des abscisses de $\mathcal R_a$ a pour équation: $x+y-1=0$ .

L'axe des abscisses du repère $\mathcal R_a$ est donc la droite $(D)$

Pour que les sommets soient sur la droite $(D)$ il faut et il suffit que cette droite soit

l'axe focal c'est à dire que l'équation réduite de $C_a$ soit de la forme $"\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1".$

On en déduit en utilisant que pour que les sommets soient sur $(D)$ il faut et il suffit que $a$ soit $<1$ .

3. Pour calculer $\Omega_aS_a$ plaçons-nous dans le repère $\mathcal R_a$ .

Dans ce repère, les coordonnées de $\Omega_a$ sont $(0,0)$ et ceux des sommets $S_a$ et $S_a\ '$ sont les couples $(0,\,\alpha)$ et $(0,\,-\alpha)$ ; donc $\overrightarrow{\Omega_aS_a}$ a pour coordonnées $(\alpha, \,0)$ et $\Omega_aS_a = \alpha$ :

$\Omega_aS_a = \Omega_aS_a\ ' = \dfrac{\sqrt {2|a-1|}}{a}$

Pour calculer $\Omega_2\Omega_a$ plaçons-nous dans le repère $\mathcal R$ .

Dans ce repère, les coordonnées de $\Omega_a$ sont $\Big(1-\dfrac1a, \dfrac1a\Big)$ et ceux de $\Omega_2$ sont le couple $\Big(\dfrac12, \dfrac12\Big)$ ; donc $\overrightarrow{\Omega_2\Omega_a}$ a pour coordonnées $(\dfrac12-\dfrac1a, \,\dfrac1a-\dfrac12)$ et

$\Omega_2\Omega_a= \sqrt{2\Big(\dfrac12-\dfrac1a\Big)^2}= \sqrt{ \dfrac{(a-2)^2}{2a^2}}\Rightarrow$

$\Omega_2\Omega_a = \sqrt 2\ \dfrac{|a-2|}{2a}$

Les points $\Omega_2$ et $\Omega_a$ étant les centres des hyperboles $C_2$ et $C_a$ sont sur les axes des ces hyperboles en particulier ils sont tous les deux sur l'axe $(D)$ .

Les points $S_a$ et $\Omega_a$ étant respectivement un sommet et le centres de l'hyperbole $C_a$ sont sur l'axe focal de $C_a$ .

Comme les axes de $C_a$ sont perpendiculaires en $\Omega_a$ , le triangle $\Omega_2\Omega_aS_a$ est rectangle en $\Omega_a$ . On en déduit en appliquant le théorème de pythagore que:

$\Omega_2 S_a\ ^2 = \Omega_2\Omega_a\ ^2+\Omega_aS_a\ ^2 =\dfrac{(a-2)^2}{2a^2}+\dfrac{2(a-1)}{a^2}\Rightarrow$

$\Omega_2 S_a\ ^2 = \Omega_2 S_a\ '\ ^2 =\dfrac12$

Par conséquent $\forall a>1,\; S_a$ et $S_a\ '$ appartiennent au cercle de centre $\Omega_2$ et de rayon $\dfrac{\sqrt 2}{2}$

4. a. Déjà fait, voici le tableau de variation de $f_a$ .

D'après le tableau de variation, l'image de l'intervalle $[0,1]$ est lui-même.

b. Raisonnons par récurrence pour montrer la propriété:

$P_n :$ " $u_n$ est défini et $u_n$ appartient à $[0, 1]$ "

Initialisation : " $u_0$ est défini et $u_0$ appartient à $[0, 1]$ " (données de l'énoncé). $P_0$ est donc vrai.

Héritage : Supposons la propriété vérifiée jusqu'à un rang $n$ donnée; en particulier que $P_n$ soit vraie, c'est à dire " $u_n$ est défini et $u_n$ appartient à $[0, 1]$ ".

Alors puisque $f_a([0,1]) = [0,1]$ , $u_{n+1} =f_a(u_n)$ appartient à $[0, 1]$ . La propriété $P_{n+1}$ est vérifiée.

Les points fixes de $f_a$ étant $0$ et $1$ :

Si $u_0=0$ , alors pour tout entier $n,\;u_n=0$ ; la suite $(u_n)$ est constante.
Si $u_0=1$ , alors pour tout entier $n,\;u_n=1$ ; la suite $(u_n)$ est constante.

5. a. Si $u_0$ est différent de $0$ et $1$ , il en est de même de $u_n$ pour tout $n$ ; et alors

$\forall n \in \N,\; f_a(u_n) \in ]0, 1[$ .

Pour tout entier naturel $n$ on a:

$u_{n+1}-u_n = f_a(u_n)-u_n = a.\ \dfrac{u_n^2-u_n}{au_n-a+1} = a(u_n-1) f_a(u_n)$

$u_{n+1}-u_n$ est donc strictement négatif parce que $u_n-1<0$ et $f_a(u_n)>0$ .

La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

b. La suite $(u_n)$ étant bornée par $0$ et $1$ et monotone, converge} vers un réel $\ell$ appartenant à $[0, 1]$ .

A partir de la relation $0<u_{n+1}=f_a(u_n)<u_0<1$ on obtient par passage la limite:

$0\leq \ell =f_a(\ell)\leq u_0 \ondang{\mathbf{<}} 1$

$\ell$ est donc un point fixe de $f_a$ différent de $1$ : $\ell =0$ .

La suite $(u_n)$ converge vers $0$

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