2009 : fonction num. vecteur et suites

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Corrigé 2012 : Préparation de l'acétanilide

Terminale S1 et S3

2009 : fonction num. vecteur et suites

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Le problème est composé de trois parties A, B et C.

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A

Le plan euclidien $(P)$ est muni d'un repère orthonormé $\mathcal R =(O,\, \overrightarrow{i},\, \overrightarrow{j})$

On appelle $f_a$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :

$f_a(x)=\dfrac{x}{ax-a+1},$

où $a$ est un réel différent de $0$ et de $1$ .

On note $C_a$ la courbe représentative de $f_a$ dans le repère $\mathcal R$ .

Partie A

1.a.

Montrer que l'application $\varphi$ de $(P)$ dans $(P)$ définie analytiquement par :

$\left\{ \begin{array}{lll} x'&=&-y+1 \\y'& =&-x+1\end{array}\right.$ est la composée d'une symétrie orthogonale et d'une translation que l'on précisera.

b. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f_a}$ de $f_a$ et montrer que la courbe $C_a$ est globalement invariante par $\varphi$ .

2. a. Montrer que toutes les courbes $C_a$ passent par deux points fixes indépendants de $a$ .

b. Déterminer les points fixes de $f_a$ , c'est à dire les réels $\ell$ tels que $f_a(\ell)=\ell.$

3. a. Etudier les variations de $f_a$ ; on discutera suivant les valeurs de $a.$

b. Construire dans le repère $\mathcal R$ les courbes $C_{-2},\;C_{0,5}$

(On prendra pour unité graphique $1$ cm).

c. Construire dans un même repère orthonormé d' unité graphique $2$ cm les courbes $C_{1,5}$ et $C_{2}$ .

Dans cette question, on suppose que le paramètre $a$ est strictement inférieur à $1.$

4. Soit $F$ la fonction de $]-\infty,\ 1[$ dans $\real$ définie par :

$F(a)=\int_{0}^{1}f_a(x)\;dx$ et $F(0)=\int_{0}^{1}x\;dx$ .

a. Montrer que pour tout $a<1$ et $a \neq 0$ , la fonction $x\mapsto ax-a+1$ est strictement positive dans $[0,\,1]$ .

Etablir alors que la fonction $F$ est définie sur $]-\infty,\ 1[$ .

b. En faisant le changement de variable
$t=ax-a+1$ , vérifier que pour tout $a$ différent de $0$ et strictement inférieur à $1$ on a :

$F(a)=\dfrac1{a}+\dfrac{1-a}{a^2}\ln(1-a).$

Déterminer alors $lim_{a\rightarrow 1^-}F(a)$ et $\lim_{a\rightarrow -\infty}F(a)$ .

c. Démontrer que pour tout $a$ différent de $0$ et strictement inférieur à $1$ on a :

$\forall x \in [0, 1],\;f_a(x)\in [0,\;1].$

d. En utilisant le résultat de la question {c)}, montrer que pour tout $a$ différent de $0$ et strictement inférieur à $1$ on a :

$\forall x \in [0, 1],\; |f_a(x)-x |\leq |a|$ .

Calculer alors $\lim_{a\rightarrow 0}\Big|F(a)-F(0)\Big|$ puis $\lim_{a\rightarrow 0}F(a)$ .

La fonction $F$ est-elle continue au point $0$ ?

Partie B

On note $\Omega_a$ le point de coordonnées $\Big(1-\dfrac{1}a,\;\dfrac1a\Big)$ dans le repère $\mathcal R$ et on considère les vecteurs
$\overrightarrow{e_1}=\dfrac{1}{\sqrt 2} (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})\;\mbox{et}\;\overrightarrow{e_2}=\dfrac{1}{\sqrt 2} (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})$

1. a. Montrer que $\mathcal R_a = (\Omega_a,\, \overrightarrow{e_1},\, \overrightarrow{e_2})$ est un repère orthonormé du plan.

b. Soit $M$ un point du plan de couple de coordonnées $(x,\, y)$ dans le repère $\mathcal R$ . Appelons $(X,\, Y)$ son couple de coordonnées dans le repère $\mathcal R_a$ . En utilisant la relation vectorielle : $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O\Omega_a}+\overrightarrow{\Omega_aM}$ , montrer que :

$\left\{ \begin{array}{lll} x = 1-\dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(X+Y) \\ y= \dfrac1a + \dfrac1{\sqrt 2}(-X+Y) \end{array} \right.$

c. Vérifier que la courbe $(C_a)$ a pour équation $Y^2-X^2=\dfrac {2(a-1)}{a^2}$ dans le repère $\mathcal R_a$ .

d. Déterminer la nature de $C_a;$ préciser ses sommets $S_a$ et $S_a^{\ '}$ suivant les valeurs de $a$ .

2. Soit $(D)$ la droite d'équation $y=-x+1$ dans le repère $\mathcal R.$

Montrer que $(C_a)$ a ses sommets sur $(D)$ si et seulement si $a<1.$

3. On suppose que $a>1.$

a. Calculer en fonction de $a$ les distances $\Omega_aS_a$ et $\Omega_2\Omega_a$ .

Pour calculer $\Omega_aS_a$ , on peut se placer dans le repère $\mathcal R_a.$

Pour calculer $\Omega_2\Omega_a$ , on peut se placer dans le repère $\mathcal R.$

b. En appliquant le théorème de pythagore au triangle $\Omega_2\Omega_aS_a$ , calculer $\Omega_2S_a$ ;

c. En déduire que les sommets de $C_a$ sont sur un cercle de centre $\Omega_2$ dont on précisera le rayon.

Dans cette partie, $a$ est un élément de l'intervalle $]0, 1[$ .

Soit $u_0$ un élément de $[0;\, 1]$ et $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et par la relation de récurrence: $u_{n+1} = f_a(u_n)$ .

Partie C

Dans cette partie, $a$ est un élément de l'intervalle ]0,1[.

Soit $u_0$ un élément de [0 ; 1] et $u_n$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et par la relation de récurrence: $u_{n+1}=f_{a}(u_n)$ .

1. a. Montrer que la fonction $f_a$ est strictement croissante dans $[0, 1]$ .

Quel est l'image de l'intervalle $[0,\,1]$ par $f_a$ ?

b. Montrer que la suite $(u_n)$ est partout définie et que $\forall n \in\N,\; u_n \in [0,\; 1]$ .

Que peut-on dire de la suite $(u_n)$ si $u_0 =0$ ? Si $u_0=1$ ?

2. On suppose que $u_0$ est différent de $0$ et $1$ .

a. Vérifier que la suite $(u_n)$ est strictement monotone

b. En déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.

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