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corrigé 2008

Détails: Catégorie : organisation des données

1. En désignant par $b$ le terme central de la progression arithmétique et par $r$ sa raison, on peut écrire: $a=b-r$ et $c=b+r$ .

Les autres données se traduisent alors par:

$\left\{ \begin{array}{ccc} \sum_{k\in \{-1,1,2\}}{}p(X=k) & = & 1 \\ E(X) &= & 1 \end{array} \right.$

c'est à dire $\left\{ \begin{array}{ccc} \text e^{a}+\text e^{b}+\text e^{c}& = & 1 \\ 1.\text e^{a}-1.\text e^{b}+2.\text e^{c} &= & 1 \\ \end{array} \right.$

Soit $\left\{ \begin{array}{ccc} \text e^{b}\text e^{-r}+\text e^{b}+\text e^{b}\text e^{r}& = & 1 \\ \text e^{b}\text e^{-r}- \text e^{b}+2 \text e^{b}\text e^{r} &= & 1 \\ \end{array} \right.$

En faisant la différence membre à membre et en simplifiant par $\text e^{b}$ , on trouve $\text e^{r}=2$ soit $r=\ln 2$ .

La première équation devient alors:

$(\dfrac 12+1+2)\text e^{b} = 1$ \ie $\text e^{b} = \dfrac 27$ $\Rightarrow\boxed{b=\ln \dfrac 27}$ .

Ensuite $a = b-r = \ln \dfrac 27-\ln 2\Rightarrow\boxed{a= \ln \dfrac 17}$ et
$c = b+r = \ln \dfrac 27+\ln 2 \Rightarrow\boxed{c= \ln \dfrac 47}$ .

Pour calculer la variance, calculons d'abord $E(X^2)$ .

$E(X^2)=1^2\text e^{a}+(-1)^2\text e^{b}+2^2\text e^{c}=\dfrac 17+\dfrac 27+4\dfrac 47=\dfrac {19}7$ .

Alors $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac {19}7 -1\Rightarrow\boxed{V(X)=\dfrac {12}7}$ .

2. a. $x_G=\dfrac 17(1.x_A+2x_B+4x_C)=1$ donc $G=A$ .

2.b.
$\varphi(G) = \dfrac 17 \Big[\overrightarrow{GA}^2+ 2\overrightarrow{GB}^2+ 4\overrightarrow{GC}^2\Big]$ .

Soit, en se souvenant que $G=A$ :

$\varphi(G) = \dfrac 17 \Big[ 2\overrightarrow{AB}^2+ 4\overrightarrow{AC}^2\Big]= \dfrac 17 ( 2.4+ 4.1)\Rightarrow \boxed{\varphi(G)=\dfrac {12}7=V(X)}$ .

On peut écrire en utilisant la relation de Schales et en développant:

$\varphi(M) = \dfrac 17\Big[ (\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2+2(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})^2 +4(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})^2\Big]$

$\varphi(M) = \dfrac 17\Big[ \overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{GA}^2+2\overrightarrow{MG}. \overrightarrow{GA}+2(\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{GB}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}) +4(\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{GC}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC})\Big]$

$\varphi(M) = \overrightarrow{MG}^2+\dfrac 17 \Big[\overrightarrow{GA}^2+ 2\overrightarrow{GB}^2+ 4\overrightarrow{GC}^2\Big]+ \dfrac 17 . 2\overrightarrow{MG}.\Big[ \overrightarrow{MG} +2 \overrightarrow{GB} +4 \overrightarrow{GC}\Big]$ .

Le troisième du second membre est nul parce que $G$ est le barycentre du système $\Big[(A, 1),\; (B,2),\;(C,4)\Big]$ . Donc,
$\varphi(M) = \overrightarrow{MG}^2+\varphi(G)$ .