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Corrigé 2010

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

$D_{g}=]0;+\infty[$ et $g(x)=-x^{2}-2+2\ln x$

1) $\displaystyle g'(x)=-2x+\frac{2}{x}=\frac{-2x^{2}+2}{x}=\frac{2(-x^{2}+1)}{x}=\frac{2(1+x)(1-x)}{x}$

Le signe de $g'(x)$ dépend du signe de $(1-x)$ car pour $x>0$ alors $1+x>0$

$\begin{array}{|c||ccccr|} \hline x & 0& & 1 & &+\infty \\ \hline 1-x & & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$

Si $x\in ]0;+1[$ alors $g'(x)>0$ donc g est strictement croissante

Si $x>1$ alors $g'(x)<0$ donc g est strictement décroissante.

2) $g(1)=-1-2+0=-3$

$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & 0& & 1 & &+\infty\\ \hline \ 1-x& & + & 0 & - & \\ \hline &&&-3&&\\ \ g(x) \ &&\nearrow&&\searrow&\\ \hline \end{array}$

$-3$ est le maximum de g sur $]0;+\infty[$ donc $g(x)<0$ pour $x>0$

B) Etude et représentation graphique de la fonction f:

1) $\displaystyle f(x)=2x+4+\frac{4\ln{x}}{x}$ et $D_{f}=]0;+\infty[$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty$
$\left\lbrace\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}2x+4=4\\ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln{x}}{x}=\frac{-\infty}{0^{+}}=-\infty\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
$\left\lbrace\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}2x+4=\infty\\ \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln{x}}{x}=0\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle f(x)-(2x+4)=\frac{4\ln{x}}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4\ln{x}}{x}=0$ donc la droite D: $y=2x+4$ est asymptote à $C_{f}$ en $+\infty$ .

Signe de $\displaystyle f(x)-(2x+4)=\frac{4\ln{x}}{x}$ dépend du signe de \ln{x}

car $x>0$ ; $\ln{x}=0$ $\Rightarrow x=1$

Si $x\in ]0;1[$ alors $f(x)-y<0$ d'où $C_{f}$ est sous D

Si $x>1$ alors $f(x)-y>0$ d'où $C_{f}$ est sur D

Si $x=1$ alors $C_{f}$ = D

$\displaystyle f'(x)=(2x+4)'+4\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)'$

$\displaystyle\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)'=\frac{\frac{1}{x}-\lnx{x}}{x^{2}}=\frac{1-\ln{x}}{x^{2}}$

$\displaystyle f'(x)=2+4\frac{1-ln(x)}{x^{2}}=\frac{2x^{2}+4-4\ln(x)}{x^{2}}= \frac{2x^{2}+4-4\ln(x)}{x^{2}}$

$\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x^{2}-2+2\ln{x}}{x^{2}}=\frac{-2g(x)}{x^{2}}$

4) Le signe de $f'(x)$ dépend du signe du $-g(x)$

Or pour $x>0$ ; $-g(x)<0$ alors $f'(x)>0$ d'où f est strictement croissante.

$\begin{array}{|c|lcr|} \hline x & 0& &+\infty \\ \hline f'(x)& & + & \\ \hline f(x)&&&\\ &&&+\infty\\ &&\nearrow&\\ &-\infty& &\\ \hline \end{array}$