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Corrigé 2010

Détails: Catégorie : suites numériques

$\left\lbrace\begin{array}{lll} U_{0} =1\\ U_{n+1} =-\frac{1}{3}(2U_{n}+5);n\geq 1\\ \end{array}\right.$

$V_{n}=U_{n}+1$

1) Montrons que $V_{n+1}=qU_{n}$

$\displaystyle V_{n+1}=U_{n+1}+1=-\frac{1}{3}(2U_{n}+5)+1=-\frac{2}{3}U_{n}-\frac{5}{3}+1$

$\displaystyle V_{n+1}=-\frac{2}{3}U_{n}-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}(U_{n}+1)=-\frac{2}{3}V_{n}$

$\displaystyle V_{n+1}=-\frac{2}{3}V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison $\displaystyle q=-\frac{2}{3}$

2) $\displaystyle V_{n}=V_{0}\times q^{n}$ $V_{0}=U_{0}+1=1+1=2$

$\displaystyle V_{n}=2\times \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}$

$V_{n}=U_{n}+1$ $\Rightarrow$ $U_{n}=V_{n}-1$

$\displaystyle U_{n}=2\times \left(-\frac{2}{3}\right)^{n}-1$

3) $\displaystyle S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}+.....+V_{n}=V_{0}\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

$\displaystyle S_{n}=2 \times \frac{1- \left(-\frac{2}{3} \right)^{n+1}}{1+\frac{2}{3}}$

$\displaystyle S_{n}=\frac{6}{5}\left[1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right]\right]$

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=\frac{6}{5}$

$\left\lbrace\begin{array}{lll} \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}=0\\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right]=1\\\end{array}\right.$

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