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Corrigé 2010

Détails: Catégorie : algèbre

1) Soient $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3$ }, les quantités respectives de $B_{1}$ , $B_{2}$ et $B_{3}$ à fabriquer mensuellement pour maximiser son profit.

	$B_1$	$B_2$	$B_3$	Contraintes
$x_1$	2	3	3	180
$x_2$	1	2	1	100
$x_3$	2	1	2	226
Profit	10	15	12

2) Soient

$x_{4}$ , éventuellement le nombre d'heure de travail restant

$x_{5}$ , le nombre d'heure machine restant

$x_{6}$ , éventuellement le nombre de tonnes restant.

On a :

$\left\lbrace\begin{array}{lll} 2x_{1}+ 3x_{2}+3x_{3}+x_{4}+0x_{5}+0x_{6}=180\\ x_{1}+ 2x_{2}+x_{3}+0x_{4}+x_{5}+0x_{6}=180\\ 2x_{1}+ x_{2}+2x_{3}+0x_{4}+0x_{5}+x_{6}=180\\ 10x_{1}+ 15x_{2}+12x_{3}+0x_{4}+0x_{5}+0x_{6}=Profit\\ \end{array}\right.$

L'algorithme du simplexe

$\begin{array}{|c|lccccc|c|} \hline &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline &2&2&3&3&1&0&180\\ \rightarrow&1&(2)&1&0&1&0&100\\ &2&1&2&0&0&1&226\\ \hline &10&15&12&0&0&0&_{Pmax}\\ \hline &&\uparrow&&&&&\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|cccccc|c|} \hline \ &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline \ \rightarrow L_{1}-3L'_{2} \rightarrow & \displaystyle\frac{1}{2}&0& \displaystyle\left(\frac{3}{2}\right) &1&- \displaystyle\frac{3}{2}&0&30\\ &&&&&&&\\ \ L'_{2}\rightarrow L_{2/2}&\displaystyle \frac{1}{2}&1& \displaystyle \frac{1}{2}&0& \displaystyle \frac{1}{2}&0&50\\ &&&&&&&\\ \ L_{3}-L'_{2}\rightarrow L_{3}& \displaystyle \frac{3}{2}&0& \displaystyle \frac{3}{2}&0&-\displaystyle \frac{1}{2}&1&176\\ &&&&&&&\\ \hline \ L_{4}-15L'_{2}\rightarrow L_{4}&\displaystyle \frac{5}{2}&0& \displaystyle \frac{9}{2}&0&\displaystyle-\frac{15}{2}&0&P_{max}-750\\ &&&&&&&\\ \hline \ &&&\uparrow&&&&\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|cccccc|c|} \hline \ &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline L"_{1}\rightarrow L_{1}& \displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)&0&1&\displaystyle \frac{2}{3}&-1&0&20\\ &&&&&&&\\ L'_{2}\displaystyle\frac{1}{2}L'_{1}\rightarrow L_{2}&\displaystyle \frac{1}{3}&1&0&\displaystyle -\frac{1}{3}&1&0&40\\ &&&&&&&\\ L'_{3}\displaystyle\frac{3}{2}L'_{1}\rightarrow L_{3}& 1&0& 0&-1&1&1&146\\ &&&&&&&\\ \hline \ L'_{4}-\displaystyle\frac{9}{2}L'_{1}\rightarrow L_{4}&1&0& 0&-3&-3&0&P_{max}-840\\ &&&&&&&\\ \hline \ &\uparrow&&&&&&\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|cccccc|c|} \hline \ &x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ \hline L"_{{1/3}}\rightarrow L'''& 1&0&3&2&-3&0&60\\ &&&&&&&\\ \ L"_{2}-\displaystyle\frac{1}{3}L"_{1}\rightarrow L'''_{2}&0&1&-1&-1&2&0&20\\ &&&&&&&\\ \ L"_{3}-L"_{1}\rightarrow L'''_{3}& 0&0& -3&-3&4&1&86\\ &&&&&&&\\ \hline \ L"_{4}-L"_{1}\rightarrow L'''_{4}&0&0& -3&-5&0&0&P_{max}-90\\ &&&&&&&\\ \hline \end{array}$

L'entreprise doit produire mensuellement $x_{1}=60B_{1}$ et $x_{2}=20B_{2}$ et pas de $B_{3}$ .
Son profit max est 900 milliers de FCFA

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