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Corrigé 2011

$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=u_n - \ln 2 \end{array} \right.$

On pose $v_n = e^{u_n}$

1) Montrons que $v_{n+1} = qv_n$

$v_{n+1}= e^{u_{n+1}}=e^{u_n - \ln 2}= e^{u_n} \times e^{- \ln 2}= e^{u_n} \times e^{\ln \frac{1}{2}}$

$v_{n+1}= \frac{1}{2}\times e^{u_n}= \frac{1}{2}v_n$

d'où $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = e^{u_0} = e^1 = e$

$v_n = v_0 \times q^n = e \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$ ; $v_n = e^{u_n} \Longleftrightarrow u_n = \ln v_n$

$u_n = \ln e\times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \ln e + \ln\left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 - n \ln 2$

$v_n = e \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$

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