terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

corrigé 2011

Détails: Catégorie : algèbre

$A=\left( \begin{array}{rrr} 2&1&0\\ -1&0&1\\ 1&-1&2 \end{array} \right)$

Je fixe la ligne N°1

$det A =2(-1)^{1+1}\times \left| \begin{array}{rr} 0&1\\ -1&2\\ \end{array} \right| + 1(-1)^{1+2}\times \left| \begin{array}{rr} -1&1\\ 1&2\\ \end{array} \right|+0=2(0+1)-1(-2-1)$

det(A) = 2 + 3 = 5

ou
$\begin{tabular}{|ccc|c} 2&1&0&\\ -1&0&1&0+0+1=1\\ 1&-1&2&\\ 2&1&0&0-2-2=-4\\ 1&-1&2&\\ -1&0&1&\\ \end{tabular}$

det(A) = 1 - (-4) = 5

det(A) $\neq$ 0 donc A est une matrice inversible

$\begin{tabular}{rrr|rrr|l}2&1&0&1&0&0&L_1\\-1&0&1&0&1&0&L_2\\1&-1&2&0&0&1&L_3\\\hline 2&1&0&1&0&0&L_1\\0&1&-2&1&2&0&L'_2 \leftarrow L_1+2L_2\\0&3&-4&1&0&-2&L'_3 \leftarrow L_1-2L_3\\-2&0&2&0&2&0&L'_1 \leftarrow L'_2-L_1\\\hline 0&1&2&1&2&0&L'_2\\0&0&10&2&6&2&L''_3\leftarrow 3L'_2-L'_3\\10&0&0&2&-4&2&L''_1 \leftarrow L_{3}-5L_{1}\\\hline 0&-5&0&-3&-4&2&L''_2 \leftarrow L''_3-5L'_2\\0&0&10&2&6&2&L_3\\1&0&0&\frac{1}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{1}{5}&L''_1/10\\0&1&0&\frac{3}{5}&\frac{4}{5}&\frac{-2}{5}&L''_2/-5\\0&0&1&\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5}&L'_3/10\\ \end{tabular}$

$A^{-1}=\frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1\\ 3&4&-2\\ 1&3&1 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y = -1\\ -x + z = 3\\ x - y + 2z = -3 \end{array} \right.$

Le système s'écrit

$\left( \begin{array}{rrr} 2&1&0\\ -1&0&1\\ 1&-1&2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1\\ 3\\ -3 \end{array} \right)$

Sous forme matricielle on a :

$AX = B \Longleftrightarrow A^{-1}AX = A^{-1}B \Longleftrightarrow I_3X = A^{-1}B$

donc $X = A^{-1}B$

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1\\ 3&4&-2\\ 1&3&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1\\ 3\\ -3 \end{array} \right)= \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 1&-6&-3\\ -3&+12&+6\\ -1&+9&-3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -2\\ 3\\ 1 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=3\\ z=1 \end{array} \right.$

S={(-2;3;1)}

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33