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Corrigé 2007

Détails: Catégorie : algèbre

$A=\left( \begin{array}{rrr} 1&-1&0\\ 2&0&1\\ 0&1&2 \end{array} \right)$

$A^2=\left( \begin{array}{rrr} -1&-1&-1\\ 2&-2&2\\ 2&1&5 \end{array} \right)$

$det A = \left| \begin{array}{rr} 0&1\\ 1&-2\\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{rr} 2&1\\ 0&2\\ \end{array} \right|=-1+4=3\neq0$

donc A est inversible

$\begin{array}{rrr|rrr|l}-1&-1&0&1&0&0&L_1 \\ 2&0&1&0&1&0&L_2 \\ 0&1&2&0&0&1&L_3 \\\hline 1&-1&0&1&0&0&L_1 \\ 0&2&1&-2&1&0&L_2 \leftarrow L_2-2L_1\\ 0&1&2&0&0&1&L_3 \\ \hline 2&0&1&0&1&0&L_1 \leftarrow L_2+2L_1\\ 0&2&1&-2&1&0&L_2\\ 0&0&-3&-2&1&-2&L_3 \leftarrow L_2-2L_3\\ \hline 6&0&0&-2&4&-2&L_1 \leftarrow L_3+3L_1 \\ 0&6&0&-8&4&-2&L_2 \leftarrow L_3+3L_2 \\ 0&0&-3&-2&1&-2& L_3 \\ \hline 1&0&0&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\\ 0&1&0&-\frac{4}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\\ 0&0&1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\\ \end{array}$

$A^{-1}=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrr} -1&2&-1\\ -4&2&-1\\ 2&-1&2 \end{array} \right)$

$\begin{array}{l}x - y = 3\\2x + z = -1\\ y + 2z = -8 \end{array}$

si et seulement si $A=\left( \begin{array}{rrr} 1&-1&0\\2&0&1\\ 0&1&2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-8\end{array}\right)$

$AX = B \Longleftrightarrow A^{-1}AX = A^{-1}B \Longleftrightarrow X = A^{-1}B$

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrr} -1&2&-1\\ -4&2&-1\\ 2&-1&2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3\\ -1\\ -8 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1\\ -2\\ -3 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-2\\ z=-3 \end{array} \right.$

$S=\{(1;-2;-3)\}$

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