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Corrigé 2011

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

1) $g(x)=e^x-2x$

$D_g=\mathbb{R}$ et g est continue dérivable sur $\mathbb{R}$

$g'(x)=e^x-2$

signe de g'(x) et sens de dérivation de g

$e^x-2=0 \rightarrow e^x = 2$ alors $x = \ln 2$

Si $x \in ]-\infty ; \ln 2[$ alors g'(x) < 0 d'où g est strictement décroissante.

Si $x \in ]\ln 2 ; +\infty[$ alors g'(x) > 0 d'où g est strictement croissante.

signe de g(x) suivant les valeurs de x

$g(\ln 2)=e^{\ln 2} - 2 \ln 2 = 2 - 2 \ln 2 = 2(1 - \ln 2)$

Le minimum de g dans $\mathbb{R}$ est $2(1 - \ln 2)>0$ donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ ; g(x) > 0.

2) $f(x)=x-2+2(x+1)e^{-x}$

f est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}.\ D_f=]-\infty;+\infty[$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty} x - 2 = -\infty\\ \left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}(x+1) = -\infty \\ \lim\limits_{x \to -\infty}e^{-x} = +\infty \\ \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to -\infty}(x+1)e^{-x} = -\infty \end{array} \right.$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) : \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty} x - 2 = +\infty\\ \left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1) = +\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}e^{-x} = 0 \\ \end{array} \right\} \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)e^{-x} = FI \end{array} \right.$

levons l'indétermination : $(x+1)e^{-x}=\frac{x+1}{e^x}=\frac{x}{e^x}+\frac{1}{e^x}$

$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{e^x}=0$

$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{e^x}=0$

d'où $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty +2(0+0)= +\infty$

$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x-2+2(x+1)e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x \to -\infty}1-\frac{2}{x}+2\left(1+\frac{1}{x}\right)e^{-x}=+\infty$

car
$\left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}\frac{2}{x} = 0\\ \lim\limits_{x \to -\infty}\frac{1}{x} = 0\\ \lim\limits_{x \to -\infty}e^{-x} = +\infty \end{array} \right.$

$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}= +\infty$ d'où $C_f$ admet une branche parabolique de direction (Oy) en $-\infty$ .

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)-(x-2)=\lim\limits_{x \to +\infty}2(x+1)e^{-x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{2x}{e^x}+\frac{2}{e^x}=0$

d'où la droite D : y = x - 2 est asymptote à $C_f$ en $+\infty$

Signe de $f(x) - y = f(x) - (x-2) = 2(x+1)e^{-x}$

$e^{-x}>0$ donc le signe de f(x) - y dépend du signe de x+1

Si $x \in ]-\infty ; -1[$ alors f(x) - y < 0 donc $C_f$ est en dessous de (D).

Si $x \in ]1 ; +\infty[$ alors f(x) - y < 0 donc $C_f$ est au dessus de (D).

Si x = -1 alors $C_f$ = (D)

$f'(x)=(x-2)'+2[(x+1)e^{-x}]'=1+2\left[(x+1)'e^{-x}+(x+1)\left(e^{-x}\right)'\right]$

$f'(x)= 1+2\left[1 \times e^{-x}-e^{-x}(x+1)\right]=e^{-x}(e^{x}+2-2x-2)$

$f'(x)=e^{-x}(e^{x}-2x)=e^{-x}.g(x)$

Pour $x \in \mathbb{R}$ , $e^{-x}>0$ donc le signe de f'(x) dépend du signe de g(x).

Or g(x) > 0 pour $x \in \mathbb{R}$ ; d'où f'(x) > 0 donc f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Tableau de variation de f

f) T : y = f'(0)(x-0) + f(0)

$f'(0)=e^0.g(0)=1(e^0-0)=1$

$f(0) = 0 - 2 + 2(0 + 1)e^0 = 0$

T : y = x

f est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ donc f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1] car $[0 ; 1] \subseteq \mathbb{R}$

Alors f est bijective de l'intervalle [0 ; 1] vers un intervalle J = f([0 ; 1]) = [f(0) ; f(1)] = $\left[0 ; \frac{4-e}{e} \right]$

$f(1) = 1 - 2 + 2(1 + 1)e^{-1} = -1 + 4e^{-1}=\frac{4-e}{e}$

$\left(f^{-1} \right)'(0)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(0)\right)}=\frac{1}{f^{-1}(0)}=\frac{1}{1}=1$

f(0)=0 donc $f^{-1}(0)=0$

h) Traçons $C_f$ dans le repère $\left(O, \vec{i}, \vec{j} \right)$

$I = \int _{-1}^{3}{(x+1)e^{-x}dx}$

Posons $u'(x)=e^{-x}\ alors\ u(x)= - e^{-x}$

alors $v(x)=x+1\ alors\ v'(x)=1$

$I=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{-1}^3-\int_{-1}^3{-e^{-x}dx}=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{-1}^3-\left[e^{-x}\right]_{-1}^3$

$I=-4e^{-3}-0-e^{-3}+e=-5e^{-3}+e=\frac{-5+e^4}{e^3}$

l'aire du domaine plan délimité par la courbe $C_f$ , (D) et les droites d'équations x = -2 et x = 3 est :

$A = u.a\left[\int_{-2}^{-1}{(y-f(x))dx} + \int_{-1}^3{(f(x)-y)dx}\right]$

$f(x)-y=2(x+1)e^{-x}$

$u.a= 2 cm \times 2 cm = 4 cm^2$

$A = 4 cm^2\int_{-2}^{-1}{-2(x+1)e^{-x}dx} + 4 cm^2\int_{-1}^{3}{2(x+1)e^{-x}dx}$

$A = -8 cm^2\int_{-2}^{-1}{(x+1)e^{-x}dx} + 8 cm^2\int_{-1}^{3}{(x+1)e^{-x}dx}$

$A = -8 cm^2 \left(\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{-2}^{-1}-\left[e^{-x}\right]_{-2}^{-1}\right) + 8 cm^2\left(\frac{-5+e^4}{e^3}\right)$

$A = -8 cm^2 \left(-e^2-e+e^2\right) + 8 cm^2 \left(\frac{-5+e^4}{e^3}\right)$

$A = 8 cm^2 +8 cm^2\left(\frac{-5+e^4}{e^3}\right)= 8 cm^2\left(\frac{e^4+e^3-5}{e^3}\right)$

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