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Corrigé 2008

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

1) $g(x)= ax + b - \frac{4e^x}{e^x + 3}$

$e^x + 3 \neq 0\ pour\ tout\ x \in \mathbb{R}\ donc\ D_g = \mathbb{R}$

La courbe représentative de g passe par (ln3, ln3) alors g(ln3) = ln3

La courbe de g admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses c'est à dire g'(ln3) = 0

avec $g'(x) = a - 4\left[\frac{e^x(e^x+3)-e^x \times e^x}{(e^x + 3)^2}\right]= a - 4\times\frac{e^{2x}+3e^x-e^{2x}}{(e^x + 3)^2}= a - \frac{12e^x}{(e^x + 3)^2}$

$\left\{ \begin{array}{l} g(\ln3)=a\ln3 + b - \frac{4e^{\ln3}}{e^{\ln3} + 3} = a\ln3 + b - \frac{12}{6} = a\ln3 + b - 2 = \ln3 \\ g'(\ln3)= a - \frac{12 \times 3}{(3 + 3)^2} = a - 1 = 0 \rightarrow a = 1 \end{array} \right.$

aln3 + b - 2 = ln3 donc ln3 + b - 2 = ln 3 soit b - 2 = 0 et b = 2.

$g(x)= x + 2 - \frac{4e^x}{e^x + 3}$

a) $f(x)= x + 2 - \frac{4e^x}{e^x + 3}$

$f(x)= x - 2 + 4 - \frac{4e^x}{e^x + 3} = x - 2 + \frac{4e^x + 12 - 4e^x}{e^x + 3} = x - 2 + \frac{12}{e^x + 3}$

Ou bien

$x + 2 - \frac{4e^x}{e^x + 3} = \frac{xe^x + 3x + 2e^x + 6 - 4e^x}{e^x + 3} = \frac{xe^x + 3x - 2e^x + 6}{e^x + 3}$

$x - 2 + \frac{12}{e^x + 3} = \frac{xe^x + 3x - 2e^x - 6 + 12}{e^x + 3} = \frac{xe^x + 3x - 2e^x + 6}{e^x + 3}$

d'où $x + 2 - \frac{4e^x}{e^x + 3} = x - 2 + \frac{12}{e^x + 3}$

b) $\lim\limits_{x \to -\infty}\left( x - 2 + \frac{12}{e^x + 3} \right) = -\infty - 2 + \frac{12}{0 + 3} = -\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}\left( x - 2 + \frac{12}{e^x + 3} \right) = +\infty - 2 + \frac{12}{+\infty} = +\infty - 2 + 0 = +\infty$

$f(x) - (x - 2) = \frac{12}{e^x + 3}$ et

$\lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x) - (x - 2)\right]= \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\frac{12}{e^x + 3}\right)=\frac{12}{+\infty}=0$

D'où la droite $D_1 : y = x - 2$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$

$f(x) - (x + 2) = - \frac{4e^x}{e^x + 3}$ et

$\lim\limits_{x \to -\infty}\left[f(x) - (x + 2)\right] = \lim\limits_{x \to -\infty}\left(- \frac{4e^x}{e^x + 3}\right)=\frac{0}{0+3}=0$

D'où la droite $D_2 : y = x - 2$ est asymptote à $C_f$ en $-\infty$

Signe de f(x) - y

Au voisinage de $-\infty$ : $f(x) - y = - \frac{4e^x}{e^x + 3} < 0$ d'où $C_f$ est en dessous de $D_2$

Au voisinage de $+\infty$ : $f(x) - y = \frac{12}{e^x + 3} > 0$ d'où $C_f$ est au dessus de $D_1$

c) $f'(x) = 1 - \frac{12e^x}{(e^x + 3)^2} = \frac{(e^x + 3)^2 - 12e^x}{(e^x + 3)^2} = \frac{e^2x + 6e^x + 9 - 12e^x}{(e^x + 3)^2}$

$f'(x) = \frac{e^2x - 6e^x + 9}{(e^x + 3)^2} = \frac{(e^x - 3)^2}{(e^x + 3)^2}$

$f'(x) \geq 0\ pour\ x \in D_f$ donc f est croissante sur $\mathbb{R}$

d) Sur [-2,-1], g est continue et strictement croissante, alors g est bijective de [-2,-1] vers J = f([-2,-1]) = [f(-2),f(-1)]

$f(-2) = (-2 + 2) - \frac{4e^{-2}}{e^{-2} + 3} = - \frac{4e^{-2}}{e^{-2} + 3}$

$f(-1) = (-1 - 2) + \frac{12}{e^{-1} + 3} = \frac{-3e^{-1} - 9 + 12}{e^{-1} + 3} = \frac{-3e^{-1} + 3}{e^{-1} + 3}$

$J = \left[- \frac{4e^{-2}}{e^{-2} + 3} ; \frac{-3e^{-1} + 3}{e^{-1} + 3}\right]$

$0 \in \left[- \frac{4e^{-2}}{e^{-2} + 3} ; \frac{-3e^{-1} + 3}{e^{-1} + 3}\right]$ donc il existe un seul $x \in ]-2,-1[$ tel que f(x) = 0.

$f(0)=2-\frac{4}{4}=1$

$h(x)=\frac{e^x}{e^x+3}=\frac{(e^x+3)'}{e^x+3}$

donc $\ln(e^x+3)$ est une primitive de h(x) sur $\mathbb{R}$

$u.a=1\ cm^2$

$x+2-f(x)=\frac{4e^x}{e^x+3}$

$\int_0^2\frac{4e^x}{e^x+3}dx = 4\left[\ln(e^x+3) \right]_0^2 = 4\left[\ln(e^2+3) - \ln4 \right] = 4 \ln\left(\frac{e^2+3}{4}\right)$

L'aire du domaine est $4 \ln\left(\frac{e^2+3}{4}\right)\ cm^2$

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