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Corrigé 2007

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

$g(x)=1-(x+1)e^x=1-xe^x-e^x$

1) $D_g=\mathbb{R} ; g'(x)=-e^x-(x+1)e^x=e^x(-1-x-1)=(-x-2)e^x$

Son signe dépend du signe de -x-2.

Si x < -2 alors g'(x) > 0 d'où g est strictement croissante.

Si x > -2 alors g'(x) < 0 d'où g est strictement décroissante.

2) $\lim\limits_{x \to -\infty}g(x) = 1 \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}e^x = 0\\ \lim\limits_{x \to -\infty}xe^x = 0 \end{array} \right.$

$\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = -\infty \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}e^x = +\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1) = +\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)e^x = +\infty \end{array} \right.$

3) g(0)=1-1=0

$pour\ x\in]-\infty,0[\ :\ g(x)>0$

$pour\ x\in]0,+\infty[\ :\ g(x)<0$

$pour\ x=0 \ :\ g(x)=0$

Partie B

$f(x)=x+1-xe^x=1+(1-e^x)x$

1) $D_f=\mathbb{R}$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}xe^x = 0\\ \lim\limits_{x \to -\infty}(x+1) = -\infty \end{array} \right.$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = -\infty \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}e^x = +\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}x = +\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}[(1-e^x)x] = (-\infty)\times(+\infty)=-\infty \end{array} \right.$

2) $f'(x)=1-(e^x+xe^x)=1-(1+x)e^x=g(x)$

f(0)=1

3) $\lim\limits_{x \to -\infty}[f(x)-(x+1)] = \lim\limits_{x \to -\infty}-xe^x = 0$

alors la droite (D) : y = x + 1 est asymptote à C $_f$ en $-\infty$

4) $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x+1-xe^x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty}1 + \frac{1}{x} - e^x =-\infty\ car\ \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{x} = 0\ <span style="line-height: 1.3em;">et\ \lim\limits_{x \to +\infty}e^x =+\infty$

d'où C $_f$ admet une branche parabolique de direction (Oy) en $+\infty$

5) h est continue et strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ alors h est bijective de $]0;+\infty[$
vers l'intervalle J = f( $]0;+\infty[$ )= $]-\infty;1[$

6) f est bijective de $]0;+\infty[$ vers $]-\infty;1[$ or $0\in]-\infty;1[$ donc il existe un seul $\beta \in ]0;+\infty[$ tel que $f(\beta)=0$ $\left.\begin{array}{l}f(0,8)=0,01\\ f(0,9)=-0,31 \end{array} \right\}$