n étant un entier naturel non nul, on place dans une urne n boules rouges, 8 + n boules noires et 20 boules blanches. Un joueur tire une boule de l’urne; on suppose tous les tirages équiprobables. S’il tire une boule rouge, il perd. S’il tire une boule noire, il gagne. S’il tire une boule blanche, il remet cette boule dans l’urne et effectue un nouveau tirage, toujours avec équiprobabilité. S’il tire alors une noire, il gagne sinon il perd.
1. a. Démontrer que la probabilité que ce joueur a de gagner est f(n) où f est l’application
de dans
telle que
. 0.75 pt
b. Déterminer l’entier n pour que cette probabilité soit maximale. Calculer alors cette probabilité. 0.5 + 0.25 pt
c. Déterminer l’entier n pour que cette probabilité soit minimale. Calculer alors cette probabilité. 0.5 + 0.25 pt
2. Dans cette question, on suppose que n = 16. Pour jouer, le joueur a misé 8 unités monétaires. p et q étant des entiers naturels tels que p > q > 8, s’il gagne à l’issue du premier tirage, on lui remet p unités monétaires et s’il gagne à l’issue du deuxième tirage, on lui remet q unités monétaires. S’il perd il ne reçoit rien.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
a. Déterminer la loi de X en fonction de p et q ainsi que son espérance mathématique. 0.75 + 0.5 pt
b. On suppose que p et q sont tels que le jeu est équitable c’est à dire l’espérance mathématique du gain algébrique est nulle.
Montrer alors que 3p + q = 60. Déterminer les couples (p,q) possibles pour que le jeu soit équitable. 0.25 + 0.5 pt c. Pour p = 16 et q = 12, calculer l’espérance math´ematique et l’écart type X. 0.25 + 0.5 pt
EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL 
- Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33
