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2016 : Problème

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

Soit g la fonction définie par : $g(x) = -2 ln(x + 1) +\frac{x}{x+1}$ .

1. a. Déterminer $D_g$ , puis calculer les limites de g aux bornes de $D_g$ . 0, 75 pt

b. Calculer $g^{\prime}x$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de g. 1 pt

2. a. Calculer g(0) . Montrer que l’équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions dont
l’une que l’on désigne $\alpha\in] -0,72,-0,71[$ . 0, 25 + 0, 5 pt

b. Déterminer le signe de g(x). 0, 5 pt

Partie B

Soit f la fonction définie par :

$\left\{\begin{array}{lllll}f(x)&=&\frac{x^2}{ln(x+1)}&si&x>-1\\\\f(x)&=&(1+x)e^{-x-1}&si&x\leq-1\\\\f(0)&=&0&&\end{array}\right.$

1. a. Montrer que $Df =\mathbb{R}$ et calculer les limites aux bornes de Df. 0, 75 pt

b. Etudier la nature des branches infinies. 0, 5 pt

2. a. Etudier la continuité de f en -1 et en 0. 0, 5 pt

b. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 0 et interpréter graphiquement les résultats. 1 pt

3. a. Montrer que pour tout $x\in]-1,+\infty[$ et $x\ne 0$ on a $f^{\prime}(x)=\frac{-xg(x)}{ln^2(x+1)}$ et calculer f'(x) sur $]-\infty,-1[$ . 0, 5 pt