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2016 : Projectiles en mouvement dans le champ de pesanteur

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

Donnée : intensité de la pesanteur : $g\quad =\quad 10\quad N\quad kg^{-1}$ . Les mobiles sont assimilés à des points matériels.
Leurs mouvements sont étudiés dans le plan vertical rapporté au repère (Ox, Oy).

Pour mettre en pratique une partie de ses connaissances un élève de terminale S se comporte comme un chasseur. Il cherche alors à atteindre, avec une flèche, un pigeon en mouvement rectiligne, horizontal. Le pigeon de masse $m_p\quad=\quad 400\quad g$ est à une altitude h du sol et se déplace avec une vitesse constante de module $V_p=12,6\quad ms^{-1}$ . A un instant $t_0=0$ , le pigeon passe par un point P situé à la verticale du chasseur. Au même instant le chasseur lui envoie une flèche avec une vitesse initiale $\overrightarrow{V_0}$ faisant un angle $\alpha=45^{\circ}$ ave l’horizontale.

La flèche a une masse $m_f=50\quad g$ . La pointe de la flèche est partie d’un point O d’altitude $h_0=1,2$ m avec la vitesse $\overrightarrow{V_0}$ de module $V_0=25\quad ms^{-1}$ .

3-1. Etablir les équations horaires des mouvements du pigeon et de la flèche. (0,75 point).

3-2. Etablir les équations des trajectoires du pigeon et de la flèche. Préciser la nature de chaque trajectoire. (01 point)

3-3. La flèche atteint le pigeon à la date $t_1=0,9\quad s$ en un point O’.

3-3-1. Déterminer l’altitude h de vol du pigeon. (0,25 point).

3-3-2. Déterminer les coordonnées du point O’. (0,25 point).

3-3-3. Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse de la flèche à l’instant où elle rencontre le pigeon. (0,5 point)

3-4. Juste après la rencontre, le pigeon et la flèche forment un solide de centre d’inertie G. La vitesse, en O’, de ce centre d’inertie vaut $V_{o^\prime}=16,0\quad m.s^{-1}$ et fait un angle $\beta=10^{\circ}$ avec l’horizontale.

3-4-1. Calculer la norme de la vitesse du centre d’inertie G à l’instant où il touche le sol. (0,5 point)

3-4-2. Calculer durée de la chute de l’ensemble (pigeon + flèche). (0,25 point).

3-4-3. Déterminer, dans le système d’axes (Ox, Oy ), les coordonnées du point de chute du centre
d’inertie G. (0,5 point)

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