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corrigé epreuve 2012 : probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Détails: Catégorie : Probabilités

On tire au hasard une boule

A : La boule tirée au premier tirage est rouge

B : Les boules tirées au deuxième tirage sont rouges

C : Les boules tirées au deuxième tirage sont vertes

D : La boule tirée au deuxième tirage est rouge

$p(A)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{1}}=\frac{4}{7}$ (0,25 point)

$p(B/A)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{\frac{4*2}{2}}{\frac{7*6}{2}}=\frac{2}{7}$ (0,25 point)

$p(C/A)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{3*2}{7*6}=\frac{1}{7}$ (0,25 point)

$p(D/A)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{6}^{1}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (0,5 point)

a) Ne pas avoir de boule rouge au deuxième tirage signifie avoir exactement une boule verte ou exactement deux boules vertes. Soit E cet événement.

$p(E)=\frac{4}{7}\times (C_{3}^{2})(C_{7}^{2})+\frac{3}{7}\times\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{1}}=\frac{\frac{3}{7\times 6}}{\frac{2}{...}}=\frac{4}{7}+(\frac{2}{6}\times\frac{3}{7})=\frac{4}{49}+\frac{1}{7}=\frac{11}{49}$                  (0,5 point)

b) Soit F l’événement avoir deux boules rouges au deuxième tirage

$p(F)=\frac{4}{7}=\frac{C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{4}{7}\times\frac{6}{21}=\frac{8}{49}$                                                                   (0,5 point)

Soit Y correspondant au nombre de boules rouges tirées au deuxième tirage.

▭(Y("" ) ={ 0,1,2 } )

Loi de probabilité de Y:

Y=a_i   0   1   2
p(Y=a_i)   11/49   30/49   8/49

Soit F la fonction de répartition de Y.

Si x < 0 alors $F(x)=p(y\leqx)=p(\phi)=0$