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Corrigé Epreuve 2000: Variable aléatoire(05 pts)

Détails: Catégorie : Probabilités

$P_{1}$ la probabilité de tirer le jeton numéroté i ; $i\in \{1,2,3,4,5,6\}$

Les Pi forment une progression arithmétique de raison $\frac{1}{30}.$

1/ a. Montrer que $P_{1}=\frac{1}{12}$

on a $P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}+P_{6}=1$

or $P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}+P_{6}=\frac{6}{2}(P_{1}+P_{6})=3(P_{1}+P_{6})$

car $\qquad somme =\frac{Nombre\text{ }de\text{ }terme}{2}(1^{er}terme+dernier$ $terme)$

$P_{6}=P_{1}+5\ast \frac{1}{30}$ \ $car(P_{n}=P_{1}+(n-1)r)$

D'où $3(P_{1}+P_{1}+\frac{5}{30})=1$ $\Leftrightarrow$ $2P_{1}+\frac{1}{ 6}=\frac{1}{12}$

$\Leftrightarrow$ $2P_{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\Leftrightarrow 2P_{1}=\frac{1}{6}$ $\Leftrightarrow 2P_{1}=\frac{1}{12}$

b. $P_{2}=P_{1}+\frac{1}{30}=\frac{7}{60}$ ; $P_{3}=P_{2}+\frac{1}{30}= \frac{9}{60}$ ; $P_{4}=P3+\frac{1}{30}=\frac{11}{60}$ ; $P_{5}=P_{4}+\frac{1 }{30}=\frac{13}{60}$ ; $P_{6}=P_{5}+\frac{1}{30}=\frac{15}{60}$

$NB$ :Vérification à faire: $\frac{1}{12}+\frac{7}{60}+ \frac{9}{60}+\frac{11}{60}+\frac{13}{60}+\frac{15}{60}=\frac{60}{60}=1$

2/ Epreuve : "tirage successif avec remise de 3 jetons" X la variable aléatoire égale au nombre de jetons portant un numéro pair.

a) loi de probabilité de X.

Les valeurs prises par X sont : 0,1,2,3. $p(X=0)$ est la probabilité de tirer trois numéros impairs.

Le nombre de cas possibles est : 6 $^{3}$

Le nombre de cas favorables à l'événement $(x=0)$ est : $3^{3}$

D'où

$p(X=1)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{3^{3}}{(2\ast 6)^{3}}=\frac{1}{2^{3}}= \frac{1}{8}$

$p(X=1)$ la probabilité de tirer deux jetons portant un numéro impair et un jeton portant un numéro pair.

Le nombre de cas favorables à l'événement est : $(X=1)$ est: $(3\ast 3)\ast 3$

nombre de choix pour deux jeton "impairs" : $3^2$

nombre de choix pour un jeton "pairs" : 3

nombre d'apparitions du jeton pair : 3

d'où $p(X=1)=\frac{3^{4}}{6^{3}}=\frac{3}{8}$

$p(X=2)$ est la probabilité de tirer deux jetons "pairs" et un jeton "impairs".

Le nombre de cas favorables est : $(3^2\ast 3)\ast 3=3^{4}$

D'où $p(X=2)=\frac{3^{4}}{6^{3}}=\frac{3}{8}$

$p(X=3)$ est la probabilité de tirer 3 jetons pairs nombre de cas favorables est $3^{3}$

$p(X=3)=\frac{3^{3}}{6^{3}}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$

$\begin{array}{ccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ P(X=x) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{array}$

b) Espérance mathématique de $X$

$E(X)=0\ast \frac{1}{8}+1\ast \frac{3}{8}+2\ast \frac{2}{8}+3\ast \frac{1}{8} =\frac{12}{8}=\frac{3}{2},$ $E(X)=1.5$

Ecart - type de $X$ :

$\sigma _{x}=\sqrt{V(X)},$ $\ V(X)=E(X^2)-(E(X^2)$

$E(X^2)=0^2 \ast \frac{1}{8}+1^2 \ast \frac{3}{8}+2^2 \ast \frac{3}{8}+3^2 \ast \frac{1}{8}=\frac{1}{8}=\frac{24}{8}=3$

$V(X)=3-\left(\frac{3}{2}\right)^2 =\frac{12}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

$D\prime o\grave{u}$ \ $\sigma _{x}=0,866$

3) Epreuve "tirage simultané de 2 jetons"

Nombre de cas possibles est : $C_{6}^{2}(\frac{6\ast 5}{2})=15$

a) $S$ : valeur absolue de la différence des numéros

Loi de probabilité de $S$

Les valeurs prises par $S$ sont : $1,2,3,4,5$

$p(S=1)$ est la probabilité de "tirer deux jetons dont la valeur absolue des numéros est 1"

c'est à dire tirer" $\{1,2\}ou\{2,3\}ou\{3,4\}ou\{4,5\}ou\{5,6\}$

Donc $p(S=1)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

$p(S=2)$ est la probabilité de tirer " $\{1,3\}ou\{2,4\}ou \{3,5\}ou\{4,6\}$ $p(S=2)=\frac{4}{15}$ "

$p(S=3)$ est la probabilité de " $tirer\{1,4\}ou\{2,5\}ou\{3,6\}$ "

Donc $p(S=3)=\frac{-3}{15}=\frac{1}{5}$

$p(S=4)$ est la probabilité de : " $tirer\{1,5\}ou\{2,6\}$ "

Donc $p(S=4)=\frac{2}{5}$

$p(S=5)$ est la probabilité de : " $tirer\{1,6\}$ "

$p(S=5)=\frac{1}{5}$

$\begin{array}{cccccc} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ p(S=k) & \frac{1}{3} & \frac{4}{15} & \frac{1}{5} & \frac{2}{15} & \frac{1}{ 15} \end{array}$

b) La probabilité de gagner est $p(S\geq 4)$

$p(S\geq 4)=p(S=4)+p(S=5)$

$=\frac{2}{15}+\frac{1}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2$

La probabilité de gagner est de 0,2.

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